Diketahui

$(G, \star)$ adalah grup dengan elemen identitas $e$.

Jika $x \in G$, maka pemetaan $\theta_{x} : G \to G$ dengan definisi $\theta_x(g) = x \star g \star x^{-1}$ untuk setiap $g \in G$ disebut sebagai konjugasi kiri terhadap elemen $x$. Lebih spesifiknya, pemetaan $\theta_{x}(g)$ untuk suatu $g \in G$ disebut elemen $g$ dikonjugasikan (kiri) terhadap elemen $x$.

Lebih lanjut, pemetaan $\theta_x$ adalah automorfisma pada grup $(G, \star)$.

Himpunan $\text{Inn}(G)$ dengan definisi $\text{Inn}(G) = \{ \theta_x ~:~ x \in G \}$ adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi dengan notasi $\circ$. Grup $(\text{Inn}(G), \circ)$ disebut sebagai grup inner automorfisma.

Pemetaan $f: G \to \text{Inn}(G)$ dengan definisi $f(g) = \theta_g$ untuk setiap $g \in G$ adalah homomorfisma.

Himpunan $Z(G)$ dengan definisi $Z(G)=\{ z \in G ~:~ \forall g \in G,~z \star g = g \star z\}$ disebut center grup $G$.

Sifat

Grup faktor $\displaystyle \frac{G}{Z(G)}$ isomorfis dengan $(\text{Inn}(G), \circ)$.

Harus Diperhatikan!

Ayo kita cermati Teorema Utama Homomorfisma berikut ini.

Nah, berdasarkan Teorema Utama Homomorfisma, kita tahu bahwa $\text{Kernel}(\phi)$ adalah subgrup normal dari $G$. Ketika $N = \text{Kernel}(\phi)$, maka kita akan mendapatkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-1) berikut.

Eits! Modifikasi Teorema Utama Homomorfisma tidak berhenti sampai di sini! Perhatikan! Jika $\phi$ adalah pemetaan surjektif, maka akan berlaku $\phi(G) = K$. Dengan demikian, kita akan mendapatkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-2) berikut.

Penyelesaian

Kita akan menggunakan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-2) untuk menunjukkan bahwa grup faktor $\displaystyle \frac{G}{Z(G)}$ isomorfis dengan $(\text{Inn}(G), \circ)$ sebagai berikut.

Step 1

Kita akan mencoba untuk membentuk suatu homomorfisma surjektif $\phi$ dari $(G, \star)$ ke $(\text{Inn}(G), \circ)$ dengan syarat $\text{Kernel}(\phi) = Z(G)$. Nah, karena diketahui bahhwa pemetaan $f: G \to \text{Inn}(G)$ dengan definisi $f(g) = \theta_g$ untuk setiap $g \in G$ adalah homomorfisma, maka kita akan mencoba untuk menunjukkan bahwa:

• $f$ adalah pemetaan surjektif, dan
• $\text{Kernel}(f) = Z(G)$.

Step 2

Kita akan mencoba untuk menunjukkan bahwa $f$ adalah pemetaan surjektif.

Kita ambil sebarang elemen di himpunan $\text{Inn}(G)$, katakanlah $\theta_x \in \text{Inn}(G)$ untuk suatu $x \in G$. Nah, berdasarkan definisi pemetaan $f$ akan berlaku $f(x) = \theta_x$. Dengan demikian, jika kita mengambil sebarang elemen di himpunan $\text{Inn}(G)$, maka kita akan selalu bisa menemukan pasangannya (atas pemetaan $f$) di himpunan $G$. Jadi, kita bisa menyatakan bahwa $f$ adalah pemetaan surjektif.

Step 3

Kita akan mencoba untuk menunjukkan bahwa $\text{Kernel}(f) = Z(G)$.

Ingat bahwa $\text{Kernel}(f)$ adalah himpunan dengan definisi sebagai berikut.

$\text{Kernel}(f) = \{ g \in G ~:~ f(g) = e_{\text{Inn}(G)} \}$

Berdasarkan sifat homomorfisma, akan diperoleh persamaan $f(e) = \theta_e$. Dengan demikian, definisi himpunan $\text{Kernel}(f)$ akan menjadi seperti berikut.

$\text{Kernel}(f) = \{ g \in G ~:~ f(g) = \theta_e \}$

Supaya tetap ingat, berikut ini adalah definisi himpunan $Z(G)$.

$Z(G)=\{ z \in G ~:~ \forall g \in G,~z \star g = g \star z\}$

Nah, karena $\text{Kernel}(f)$ dan $Z(G)$ adalah himpunan-himpunan, maka untuk menunjukkan bahwa berlaku persamaan $\text{Kernel}(f) = Z(G)$ adalah dengan menunjukkan bahwa berlaku $\text{Kernel}(f) \subseteq Z(G)$ dan $Z(G) \subseteq \text{Kernel}(f)$.

Step 4

Kita akan mencoba untuk menunjukkan bahwa $\text{Kernel}(f) \subseteq Z(G)$.

Kita ambil sebarang elemen di himpunan $\text{Kernel}(f)$, katakanlah $x \in \text{Kernel}(f)$. Berdasarkan definisi himpunan $\text{Kernel}(f)$, maka akan berlaku persamaan $f(x) = \theta_x = \theta_e$. Berdasarkan, definisi pemetaan $\theta$, akan berlaku persamaan berikut.

$(f(x))(g) = \theta_x(g) = \theta_e(g) = e \star g \star e^{-1} = g$, untuk setiap $g \in G$.

Dengan demikian, jika $x \in \text{Kernel}(f)$, maka untuk setiap $g \in G$ akan berlaku persamaan berikut.

$(f(x))(g) = \theta_e(g) = g$ (*1)

Di lain sisi, karena berlaku $\theta_x = \theta_e$, maka menurut definisi pemetaan $\theta$ akan berlaku persamaan berikut untuk setiap $g \in G$.

$\theta_e(g) = \theta_x(g) = x \star g \star x^{-1}$ (*2)

Nah, berdasarkan (*1) dan (*2), kita akan memiliki persamaan berikut yang berlaku untuk setiap $g \in G$.

$x \star g \star x^{-1} = g ~\iff~ x \star g = g \star x$

Berdasarkan persamaan di atas, kita bisa menyatakan bahwa $x \in Z(G)$. Ingat bahwa $x$ adalah sebarang elemen di himpunan $\text{Kernel}(f)$.

Jadi, karena untuk sebarang elemen di himpunan $\text{Kernel}(f)$ juga merupakan elemen di himpunan $Z(G)$, maka kita bisa menyatakan bahwa $\text{Kernel}(f) \subseteq Z(G)$.

Step 5

Kita akan mencoba untuk menunjukkan bahwa $Z(G) \subseteq \text{Kernel}(f)$.

Kita ambil sebarang elemen di himpunan $Z(G)$, katakanlah $x \in Z(G)$. Berdasarkan definisi himpunan $Z(G)$, maka akan berlaku persamaan $x \star g = g \star x$ untuk setiap $g \in G$.

Ingat! Karena $x \in Z(g) \subseteq G$ dan $(G, \star)$ adalah grup, maka elemen invers untuk $x$, yaitu $x^{-1}$ eksis. Dengan demikian, kita akan punya ekuivalensi sebagai berikut.

$x \star g = g \star x ~\iff~ x \star g \star x^{-1} = g$

Berdasarkan, definisi pemetaan $\theta$, akan berlaku ekuivalensi berikut.

$x \star g \star x^{-1} = g ~\iff~ \theta_x(g) = g$

Perhatikan bahwa persamaan $\theta_x(g) = g$ berlaku untuk setiap $g \in G$, yang berarti $\theta_x = \theta_e$ yang merupakan elemen identitas di grup $(\text{Inn}(G), \circ)$. Oleh sebab itu, kita dapat menyatakan bahwa $x \in \text{Kernel}(f)$ karena akan berlaku $f(x) = \theta_x = \theta_e$.

Jadi, karena untuk sebarang elemen di himpunan $Z(G)$ juga merupakan elemen di himpunan $\text{Kernel}(f)$, maka kita bisa menyatakan bahwa $Z(G) \subseteq \text{Kernel}(f)$.

Step 6

Berdasarkan Step 4 dan Step 5, karena terbukti bahwa berlaku $Z(G) \subseteq \text{Kernel}(f)$ dan $\text{Kernel}(f) \subseteq Z(G)$, maka kita bisa menyatakan bahwa $\text{Kernel}(f) = Z(G)$.

Final Step

Berdasarkan Step 1 hingga Step 6, kita telah berhasil menunjukkan bahwa pemetaan $f: G \to \text{Inn}(G)$ dengan definisi $f(g) = \theta_g$ untuk setiap $g \in G$ memiliki sifat-sifat:

• $f$ adalah homomorfisma surjektif, dan
• $\text{Kernel}(f) = Z(G)$,

maka, berdasarkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-2), kita bisa menyatakan bahwa grup faktor $\displaystyle \frac{G}{Z(G)}$ isomorfis dengan $(\text{Inn}(G), \circ)$.

$\blacksquare$