Grup Klein-4 yang dinotasikan dengan $(V_4, \star)$. Grup Klein-4 adalah grup yang beranggotakan 4 elemen dengan sifat $x \star x = e$ untuk setiap $x \in V_4$. Tabel Cayley untuk grup Klein-4 adalah sebagai berikut.
| $\star$ | $e$ | $a$ | $b$ | $a \star b$ |
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | $a \star b$ |
| $a$ | $a$ | $e$ | $a \star b$ | $b$ |
| $b$ | $b$ | $a \star b$ | $e$ | $a$ |
| $a\star b$ | $a \star b$ | $b$ | $a$ | $e$ |
Grup simetri derajat 4 dinotasikan $S_4$ adalah grup yang elemen-elemennya adalah semua permutasi atas 4 objek terhadap operasi biner komposisi permutasi yang dinotasikan dengan $\circ$. Contoh permutasi atas 4 objek adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$.
Himpunan Objek
Himpunan $X = \{ x_1, x_2, x_3, ..., x_{n-1}, x_n \}$ adalah himpunan yang memuat $n$ objek. Notasi untuk objek berindeks $i$ adalah $x_i$. Setiap objek adalah berbeda $(x_i \neq x_j \iff i \neq j)$.
Permutasi
Permutasi adalah pemetaan bijektif dari himpunan objek $X$ ke dirinya sendiri.
Contoh. Misalkan $X = \{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \}$. Suatu permutasi $\rho$ pada $X$ didefinisikan sebagai $\rho(x_1) = x_5$, $\rho(x_2) = x_4$, $\rho(x_3) = x_2$, $\rho(x_4) = x_3$, $\rho(x_5) = x_1$.
Notasi Permutasi dalam Bentuk Matriks
Jika $\rho$ adalah permutasi atas $X$, maka $\rho = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_n \\ \rho(x_1) & \rho(x_2) & \rho(x_3) & ... & \rho(x_n) \end{pmatrix}$ adalah notasi permutasi $\rho$ dalam bentuk matriks.
Contoh. Misalkan $X = \{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \}$ dan permutasi $\rho$ pada $X$ didefinisikan sebagai $\rho(x_1) = x_5$, $\rho(x_2) = x_4$, $\rho(x_3) = x_2$, $\rho(x_4) = x_3$, $\rho(x_5) = x_1$. Notasi permutasi $\rho$ dalam bentuk matriks adalah $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ x_5 & x_4 & x_2 & x_3 & x_1 \end{pmatrix}$.
Bentuk notasi matriks dapat dijadikan lebih ringkas dengan hanya menampilkan nomor indeks (notasi $x$ tidak ditulis/omitted).
Contoh. Permutasi $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ x_5 & x_4 & x_2 & x_3 & x_1 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.
Notasi Cycle dan Cycle Part
Jika $\rho = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_n \\ \rho(x_1) & \rho(x_2) & \rho(x_3) & ... & \rho(x_n) \end{pmatrix}$ adalah notasi permutasi $\rho$ dalam bentuk matriks, maka:
$\rho = (x_1~~ \rho(x_1)~~ \rho^2(x_1)~~ ...~ \rho^{k_1}(x_1))\;(x_2~~ \rho(x_2)~~ \rho^2(x_2)~~ ...~ \rho^{k_2}(x_2))\; ... \;(x_n~~ \rho(x_n)~~ \rho^2(x_n)~~ ...~ \rho^{k_n}(x_n))$
untuk suatu $k_1, k_2, ..., k_n \in \mathbb{N}$ adalah permutasi $\rho$ dalam notasi Cycle.
Notasi cycle juga memiliki bentuk ringkas sebagai berikut.
$\rho = (1~~ \rho(1)~~ \rho^2(1)~~ ...~ \rho^{k_1}(1))\;(2~~ \rho(2)~~ \rho^2(2)~~ ...~ \rho^{k_2}(2))\; ... \;(n~~ \rho(n)~~ \rho^2(n)~~ ...~ \rho^{k_n}(n))$
Contoh. Misalkan $\rho_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\rho_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$, maka permutasi $\rho_1$ dan $\rho_2$ dalam bentuk notasi cycle adalah $\rho_1 = (1\;5)(2\;4\;3)$ dan $\rho_2 = (1)(2\;5)(3)(4)$.
Bagian dari notasi cycle suatu permutasi seperti $(1\;5)$, $(2\;4\;3)$, $(1)$, $(2\;5)$, $(3)$, dan $(4)$ disebut sebagai cycle part. Secara konvensi, cycle part yang hanya memuat satu objek saja tidak dianggap atau diabaikan karena dianggap sebagai permutasi identitas.
Contoh. Permutasi $\rho_1 = (1\;5)(2\;4\;3)$ terdiri dari 2 cycle part, yaitu $(1\;5)$ dan $(2\;4\;3)$. Permutasi $\rho_2 = (1)(2\;5)(3)(4)$ terdiri dari satu cycle part, yaitu $(2\;5)$ karena cycle part $(1)$, $(3)$, dan $(4)$ tidak dianggap karena hanya memuat satu objek saja. Dengan demikian, permutasi $\rho_2$ dapat dinyatakan lebih ringkas dalam notasi cycle sebagai $\rho_2 = (2\;5)$.
Cycle dan Panjang Cycle
Suatu permutasi disebut sebagai cycle jika dan hanya jika notasi cycle permutasi tersebut hanya terdiri dari tepat satu cycle part saja. Panjang cycle adalah banyaknya objek yang termuat di dalam cycle tersebut.
Contoh. Permutasi $\rho_1 = (1\;5)(2\;4\;3)$ bukan cycle karena notasi cycle permutasi $\rho_1$ terdiri dari 2 cycle part. Permutasi $\rho_2 = (2\;5)$ adalah cycle karena notasi cycle permutasi $\rho_2$ terdiri dari tepat satu cycle part saja. Panjang cycle $\rho_2 = (2\;5)$ adalah 2 karena cycle ini memuat objek $x_2$ dan $x_5$.
Grup Klein-4 $(V_4, \star)$ isomorfis dengan suatu subgrup dari grup simetri berderajat 4 $(S_4, \circ)$.
Step 1
Misalkan $H$ adalah suatu subgrup dari $S_4$. Dengan demikian, sebagaimana grup induknya, yaitu $S_4$, subgrup $H$ ini adalah grup yang elemen-elemennya adalah permutasi atas 4 objek terhadap operasi biner komposisi permutasi yang dinotasikan $\circ$. Kita akan membuat subgrup $(H, \circ)$ ini supaya isomorfis dengan grup $(V_4, \star)$, yaitu terdapat suatu homomorfisma bijektif dari subgrup $(H, \circ)$ ke grup $(V_4, \star)$.
Step 2
Misalkan $\phi$ adalah suatu homomorfisma dari $(H, \circ)$ ke $(V_4, \star)$. Dengan demikian, untuk setiap $\rho_1,\rho_2 \in H$ akan berlaku persamaan $\phi(\rho_1 \circ \rho_2) = \phi(\rho_1) \star \phi(\rho_2)$. Perhatikan sifat homomorfisma berikut!
Sifat Pemetaan Elemen Identitas Homomorfisma
Jika $\phi$ adalah homomorfisma dari grup $(G, \star)$ ke grup $(G', \circ)$, maka akan berlaku $\phi(e_G) = e_{G'}$ dengan $e$ adalah elemen identitas.
Berdasarkan sifat di atas, jika $\rho$ adalah suatu permutasi di grup $(H, \circ)$, maka akan berlaku persamaan berikut.
$\begin{split} \phi(\rho \circ \rho) = \phi(\rho) \star \phi(\rho) & \iff \phi(\rho \circ \rho) = e_{V_4} \\ & \iff \rho \circ \rho = e_H = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{split}$
Berdasarkan persamaan di atas, kita bisa menyatakan bahwa subgrup $(H, \circ)$ isomorfis dengan grup $(V_4, \star)$ jika dan hanya jika untuk setiap permutasi $\rho \in H$ akan berlaku persamaan $\rho \circ \rho = e_H = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$.
Dengan demikian, selain permutasi identitas, elemen-elemen di subgrup $(H, \circ)$ adalah cycle-cycle dengan panjang 2 seperti $(1~2)$, $(1~3)$, $(1~4)$ dan sebagainya.
Step 3
Karena $e_H = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$, maka tugas kita sekarang adalah menentukan cycle-cycle dengan panjang 2 yaitu $\rho_1$, $\rho_2$, dan $\rho_3$ sedemikian sehingga berlaku persamaan $\phi(\rho_1) = a$, $\phi(\rho_2) = b$, dan $\phi(\rho_3) = a \star b$.
Perhatikan! Misalkan $\rho_1 = (a~ b)$ dan $\rho_2 = (a~ c)$ untuk suatu $a,b,c \in \{1,2,3,4\}$. Jika dibentuk $\rho_1 \circ \rho_2$, maka hasilnya akan menjadi seperti berikut.
$\rho_1 \circ \rho_2 = (a~ b) \circ (a~ c) = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & a & c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ c & b & a & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ c & a & b & d \end{pmatrix} = (a~ c~ b) $
Berdasarkan hasil di atas, $\rho_1$ dan $\rho_2$ tidak boleh memuat objek yang sama karena hasil dari $\rho_1 \circ \rho_2$ akan berupa cycle dengan panjang 3 yang tidak akan pernah memenuhi persamaan $(\rho_1 \circ \rho_2)^2 = e_H$.
Final Step
Berdasarkan ketentuan yang diperoleh dari hasil Step 3, kita tetapkan $\rho_1 = (1~2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\rho_2 = (3~4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$. Dengan demikian, kita akan mendapatkan $\rho_1 \circ \rho_2 = (1~2)(3~4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$.
Nah, berdasarkan ketetapan di atas, perhatikan bahwa $\rho_1^2 = \rho_2^2 = (\rho_1 \circ \rho_2)^2 = e_H$. Lebih lanjut, perhatikan hasil-hasil operasi berikut.
Berdasarkan penjabaran di atas, $\rho_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\rho_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ ternyata memenuhi ketentuan sedemikian sehingga subgrup $(H, \circ)$ ini isomorfis dengan grup $(V_4, \star)$.
Jadi, subgrup $(H, \circ)$ dengan elemen-elemen:
$H = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix},~ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \right\}$
isomorfis dengan grup Klein-4 $(V_4, \star)$ terhadap homomorfisma bijektif $\phi: H \to V_4$ dengan definisi sebagai berikut.
$\phi\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \right) = e$, $\phi\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \right) = a$, $\phi\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \right) = b$, $\phi\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \right) = a \star b$
$\blacksquare$