$(\bar{a}_1, \bar{b_1}, \bar{c}_1) \oplus (\bar{a}_2, \bar{b_2}, \bar{c}_2) = (\bar{a}_1 \star \bar{a}_2,~ \bar{b_1} \star \bar{b_2},~ \bar{c}_1 \star \bar{c}_2)$
Konstruksikan grup permutasi $P$ yang isomorfis dengan grup $B~$!
Step 1
Ingat! Grup permutasi $P$ isomorfis dengan grup $B~$ jika dan hanya jika terdapat suatu homomorfisma bijektif dari grup permutasi $P$ ke grup $B~$ (atau sebaliknya). Oleh sebab itu, tugas utama kita adalah sebagai berikut.
Kita harus membentuk suatu grup permutasi $P$ sedemikian sehingga terdapat suatu homomorfisma bijektif dari grup permutasi $P$ ke grup $B~$.
Step 2
Ayo kita selidiki dulu elemen-elemen grup $B$!
Perhatikan bahwa $B = \big\{ (\bar{0}, \bar{0}, \bar{0}),~ (\bar{0}, \bar{0}, \bar{1}),~ (\bar{0}, \bar{1}, \bar{0}), ... \big\}$. Elemen-elemen di grup $B$ mirip seperti vektor di $\mathbb{R}^3$ yang mana berbentuk 3-tuple. Hanya saja, entri-entri penyusun 3-tuple tersebut berasal dari grup $\mathbb{Z}_2$. Nah, karena grup $\mathbb{Z}_2$ terdiri dari 2 elemen (yaitu $\bar{0}$ dan $\bar{1}$), maka grup $B$ memiliki sebanyak $2^3 = 8$ elemen. Dengan kata lain, $B = \{ b_0, b_1, b_2, ..., b_6, b_7 \}$.
Perhatikan! Ini adalah pengetahuan dasar teori himpunan. Jika terdapat himpunan $X$ dan $Y$, dan juga terdapat suatu pemetaan bijektif dari himpunan $X$ ke himpunan $Y$, maka dapat dipastikan bahwa kardinalitas himpunan $X$ dan himpunan $Y$ adalah sama.
Hal serupa juga akan berlaku pada grup permutasi $P$ yang akan kita bentuk. Jika terdapat suatu pemetaan bijektif dari grup permutasi $P$ ke grup $B~$, maka dapat dipastikan bahwa kardinalitas himpunan $P$ dan himpunan $B$ adalah sama. Karena grup $B$ memiliki sebanyak 8 elemen, maka grup permutasi $P$ juga harus memiliki sebanyak 8 elemen. Dengan kata lain, $P = \{ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_6, \sigma_7 \}$.
Step 3
Selanjutnya, perhatikan Teorema Cayley berikut!
Teorema Cayley
Setiap grup isomorfis dengan suatu grup permutasi.
Berdasarkan Teorema Cayley tersebut, eksistensi grup permutasi $P$ yang isomorfis dengan grup $B$ ini dijamin ada.
Karena grup permutasi $P$ harus memiliki 8 sebanyak elemen, maka grup permutasi $P$ setidaknya harus merupakan subgrup dari grup simetri $S_4$ atau yang lebih besar. Kenapa? Ini dikarenakan grup simetri $S_4$ memiliki sebanyak $4! = 24$ elemen, sedangkan grup simetri $S_3$ hanya memiliki sebanyak $3! = 6$ elemen.
Perhatikan! Jika nilai $n \geq 4$, maka grup simetri $S_n$ akan memiliki $\geq 24$ elemen.
Nah, pertanyannya: grup permutasi $P$ yang dicari ini itu adalah subgrup dari grup simetri $S_n$ dengan nilai $n$ berapa?
Step 4
Perhatikan bahwa grup $B$ memiliki basis (standar) yang beranggotakan 3 elemen, yaitu $\big\{(\bar{1}, \bar{0}, \bar{0}),~ (\bar{0}, \bar{1}, \bar{0}),~ (\bar{0}, \bar{0}, \bar{1})\big\} = \big\{b_1,~ b_2,~ b_3\big\}$. Dengan demikian, sebarang elemen $x \in B$ dapat disajikan sebagai kombinasi linear $\oplus$ ketiga elemen basis tersebut sebagai berikut.
$x = \displaystyle \sum_{\text{sebanyak}~ i ~\text{kali}} b_1 ~\oplus~ \sum_{\text{sebanyak}~ j ~\text{kali}} b_2 ~\oplus~ \sum_{\text{sebanyak}~ k ~\text{kali}} b_3$
Perhatikan bahwa $b_1 \oplus b_1 = b_2 \oplus b_2 = b_3 \oplus b_3 = b_0$ dengan $b_0 = (\bar{0}, \bar{0}, \bar{0})$. Jika terdapat suatu homomorfisma $\phi$ dari grup $P$ ke grup $B$, maka akan berlaku $\phi(b_1 \oplus b_1) = \phi(b_0)$ $~\iff~$ $\phi(b_1) \circ \phi(b_1) = \sigma_0$ dengan $\circ$ adalah operasi komposisi permutasi dan $\sigma_0$ adalah permutasi identitas.
Dengan analogi serupa, kita akan mendapatkan juga persamaan $\phi(b_2) \circ \phi(b_2) = \sigma_0$ dan $\phi(b_3) \circ \phi(b_3) = \sigma_0$. Oleh sebab itu, jika elemen $b_1$ isomorfis dengan suatu permutasi $\sigma_1$ dengan sifat $\sigma_1 \circ \sigma_1 = \sigma_0$, maka kita bisa menyatakan permutasi $\sigma_1$ sebagai transposition $(12)$.
Perhatikan bahwa $b_1$, $b_2$, dan $b_3$ adalah elemen-elemen berbeda yang saling bebas linear (karena merupakan basis). Dengan demikian, jika elemen $b_1$ isomorfis dengan suatu permutasi $\sigma_1$, $b_2$ isomorfis dengan suatu permutasi $\sigma_2$, dan $b_3$ isomorfis dengan suatu permutasi $\sigma_3$ maka permutasi $\sigma_1$, $\sigma_2$, dan $\sigma_3$ adalah tiga permutasi yang berbeda. Menariknya, karena berlaku sifat $\sigma_2 \circ \sigma_2 = \sigma_0$ dan permutasi $\sigma_1$ dan $\sigma_2$ saling berbeda dan bebas linear, maka kita bisa menyatakan permutasi $\sigma_2$ sebagai transposition $(34)$. Dengan analogi serupa, kita bisa menyatakan permutasi $\sigma_3$ sebagai transposition $(56)$.
Step 5
Oke! Berdasarkan penjabaran di atas, ternyata grup permutasi $P$ adalah subgrup dari grup simetri $S_6$. Jika grup permutasi $P$ dijabarkan sebagai $P = \{ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_6, \sigma_7 \}$, maka kita dapat mendefinisikan permutasi $\sigma_4$ hingga $\sigma_7$ sebagai berikut.
Lebih detilnya:
$B = \big\{b_0,~ b_1,~ b_2,~ b_3,~ b_4,~ b_5,~ b_6,~ b_7\big\}$ dengan:
Final Step
Berdasarkan Step 1 hingga Step 5 kita membuat suatu grup permutasi $P$ yang beranggotakan 8 elemen, yaitu $P = \{ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_6, \sigma_7 \}$ yang elemen-elemennya didefinisikan pada Step 5. Isomorfisma atau homomorfisma bijektif dari grup permutasi $P$ ke grup $B~$ adalah $\phi$ yang didefinisikan sebagai $\phi(\sigma_i) = b_i$ untuk setiap $\sigma_i \in P$.
$\blacksquare$