$(G, \star)$ adalah grup komutatif dengan elemen identitas $e$.
$H = \{ g \in G ~:~ g^n = e \text{ untuk suatu } n \in \mathbb{N} \}$.
$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,... \}$ adalah himpunan semua bilangan asli.
$(H, \star)$ adalah subgrup dari $(G, \star)$.
Berdasarkan informasi-informasi di atas, teorema ini menyatakan bahwa himpunan $H$ yang merupakan himpunan semua elemen di $G$ yang mempunyai order hingga merupakan subgrup dari $G$.
Apakah benar? Ayo kita buktikan!
Step 1
Pertama-tama, kita harus menunjukkan bahwa himpunan $H$ tidak kosong. Karena jika $H$ himpunan kosong, maka semua pernyataan yang berkaitan dengannya akan selalu benar. Nah lho!
Perhatikan ya! Kita ingin menunjukkan bahwa teorema ini berlaku benar untuk himpunan $H$ yang ada isinya. Tentu, kita asumsikan dari awal bahwasanya grup $(G, \star)$ itu sendiri tidak kosong.
Nah, karena grup $(G, \star)$ tidak kosong, maka grup $(G, \star)$ memiliki elemen identitas, yaitu $e$. Perhatikan! Elemen identitas $e$ ini akan termuat di dalam himpunan $H$ karena berlaku persamaan $e^1 = e$, yang mana ini memenuhi syarat keanggotaan himpunan $H$.
Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa jika grup $(G, \star)$ tidak kosong, maka himpunan $H$ tidak kosong karena setidaknya memuat elemen identitas grup $(G, \star)$ , yaitu $e$.
Step 2
Kita akan memanfaatkan teorema berikut untuk menunjukkan bahwa $(H, \star)$ adalah subgrup dari grup $(G, \star)$.
Teorema Subgrup
Diketahui $(G, \star)$ adalah grup dan $H$ adalah himpunan bagian dari himpunan $G$.
$(H, \star)$ adalah subgrup dari $(G, \star)$ jika dan hanya jika kedua pernyataan di bawah berlaku benar.
Step 3
Berdasarkan Step 1, kita sudah menunjukkan bahwa jika grup $(G, \star)$ tidak kosong, maka himpunan $H$ tidak kosong karena setidaknya memuat elemen identitas grup $(G, \star)$ , yaitu $e$. Dengan demikian pernyataan nomor 1 pada Teorema Subgrup di Step 2 berlaku benar.
Step 4
Selanjutnya, kita akan menunjukkan kebenaran dari pernyataan nomor 2 pada Teorema Subgrup di Step 2. Untuk itu, kita ambil sebarang elemen $x \in H$ dengan asumsi bahwa $x \neq e$. Kalau $x = e$, maka langsung terbukti dong kebenarannya.
Nah, perhatikan! Karena $x \in H$, maka berdasarkan syarat keanggotaan himpunan $H$, akan terdapat suatu bilangan asli $n' \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga berlaku persamaan $x^{n'} = e$.
Nah, perhatikan juga! Karena $x \in H$, maka $x$ juga adalah elemen di grup $(G, \star)$. Oleh sebab itu, elemen $x$ tersebut memiliki elemen invers. Kita sebut saja elemen invers ini sebagai $y$ sedemikian sehingga akan berlaku persamaan $x \star y = y \star x = e$.
Nah, dari dua paragraf di atas, kita akan mendapatkan persamaan $x^{n'} = x \star y = e$.
Step 5
Selanjutnya, kita akan mengoperasikan elemen $y$ dari kiri pada persamaan $x^{n'} = x \star y$. Kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut.
$\begin{split} x^{n'} = x \star y &\iff y \star x^{n'} = y \star (x \star y) \\ & \iff y \star (x \star x^{n'-1}) = (y \star x) \star y \\ & \iff (y \star x) \star x^{n'-1} = (y \star x) \star y \\ & \iff e \star x^{n'-1} = e \star y \\ & \iff x^{n'-1} = y \end{split}$
Selanjutnya, kita akan mengoperasikan elemen $y$ dari kiri pada persamaan $x^{n'-1} = y$. Kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut.
$\begin{split} x^{n'-1} = y &\iff y \star x^{n'-1} = y \star y \\ & \iff y \star (x \star x^{n'-2}) = y^2 \\ & \iff (y \star x) \star x^{n'-2} = y^2 \\ & \iff e \star x^{n'-2} = y^2 \\ & \iff x^{n'-2} = y^2 \end{split}$
Berdasarkan analogi dari penjabaran-penjabaran di atas, kita akan mendapatkan persamaan-persamaan:
Final Step
Perhatikan persamaan $x^{n'-(n')} = y^{n'}$!
Karena $x^{n'-(n')} = x^0 = e$, maka kita akan mendapatkan persamaan $x^{n'-(n')} = e = y^{n'}$. Nah ini! Karena berlaku persamaan $y^{n'} = e$ dengan $n'$ adalah bilangan asli, maka kita bisa menyatakan bahwa elemen $y$ ini memenuhi syarat keanggotaan himpunan $H$. Dengan kata lain, elemen $y$ termuat di dalam himpunan $H$.
Jadi, karena Teorema Subgrup di Step 2 sudah terbukti kebenarannya, maka kita bisa menyatakan bahwa $(H, \star)$ adalah subgrup dari $(G, \star)$.
$\blacksquare$