$(G, \star)$ adalah grup dengan elemen identitas $e$.
Jika $x \in G$, maka pemetaan $\theta_{x} : G \to G$ dengan definisi $\theta_x(g) = x \star g \star x^{-1}$ untuk setiap $g \in G$ disebut sebagai konjugasi kiri terhadap elemen $x$. Lebih spesifiknya, pemetaan $\theta_{x}(g)$ untuk suatu $g \in G$ disebut elemen $g$ dikonjugasikan (kiri) terhadap elemen $x$.
Lebih lanjut, pemetaan $\theta_x$ adalah automorfisma pada grup $(G, \star)$.
Himpunan $\text{Inn}(G)$ dengan definisi $\text{Inn}(G) = \{ \theta_x ~:~ x \in G \}$ adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi.
Pemetaan $f: G \to \text{Inn}(G)$ dengan definisi $f(g) = \theta_g$ untuk setiap $g \in G$ adalah homomorfisma.
Step 1
Karena $(G, \star)$ adalah grup, maka himpunan $G$ tidak kosong. Karena himpunan $\text{Inn}(G)$ adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi, maka himpunan $\text{Inn}(G)$ tidak kosong. Karena himpunan $\text{Inn}(G)$ tidak kosong, maka untuk setiap $x \in G$, pemetaan $\theta_{x} \in \text{Inn}(G)$ akan selalu terdefinisi dengan baik.
Step 2
Kita akan mencari tahu, apakah untuk sebarang $x, y \in G$, akan berlaku persamaan $f(x \star y) = f(x) \circ f(y)$. Sekadar informasi, $\circ$ adalah simbol operasi komposisi fungsi yang membuat himpunan $\text{Inn}(G)$ menjadi grup.
Step 3
Sesuai definisi pemetaan $f$, akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$f(x \star y) = \theta_{x \star y}$
Sesuai definisi pemetaan $\theta$, untuk setiap $g \in G$, akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$\theta_{x \star y}(g) = (x \star y) \star g \star (x \star y)^{-1}$
Step 4
Karena berlaku persamaan $(x \star y)^{-1} = y^{-1} \star x^{-1}$, maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$(x \star y) \star g \star (x \star y)^{-1} = (x \star y) \star g \star (y^{-1} \star x^{-1})$
Menggunakan sifat asosiatif operasi biner $\star$, akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$(x \star y) \star g \star (y^{-1} \star x^{-1}) = x \star (y \star g \star y^{-1}) \star x^{-1}$
Sesuai definisi pemetaan $\theta$, karena $\theta_y (g) = y \star g \star y^{-1}$ untuk setiap $g \in G$, maka kita akan memperoleh persamaan sebagai berikut.
$x \star (y \star g \star y^{-1}) \star x^{-1} = x \star \theta_y (g) \star x^{-1}$
Step 5
Ingat! $\theta$ adalah pemetaan dari himpunan $G$ ke dirinya sendiri. Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa $\theta_y (g) \in G$.
Nah, sesuai definisi pemetaan $\theta$, karena $\theta_x (g) = x \star g \star x^{-1}$ untuk setiap $g \in G$, maka kita akan memperoleh persamaan sebagai berikut.
$x \star \theta_y (g) \star x^{-1} = \theta_x \left( \theta_y (g) \right)$
Sesuai definisi fungsi komposisi, kita akan punya persamaan sebagai berikut.
$\theta_x \left( \theta_y (g) \right) = \left( \theta_x \circ \theta_y \right)(g)$
Karena $f(x) = \theta_x$ dan $f(y) = \theta_y$, maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$\left( \theta_x \circ \theta_y \right)(g) = \left( f(x) \circ f(y) \right)(g)$
Final Step
Berdasarkan Step 2 hingga Step 5 akan berlaku persamaan $f(x \star y)(g) = \left( f(x) \circ f(y) \right)(g)$ untuk setiap $x,y,g \in G$.
Jadi, kita bisa menyatakan bahwa pemetaan $f: G \to \text{Inn}(G)$ dengan definisi $f(g) = \theta_g$ untuk setiap $g \in G$ adalah homomorfisma.
$\blacksquare$