Himpunan $G = \{ e,\; a_2,\; a_3,\; ...,\; a_7 ,\; a_8 \}$ dengan elemen-elemen sebagai berikut adalah grup terhadap operasi perkalian matriks.
$e = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $a_2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,
$a_3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $a_4 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$,
$a_5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $a_6 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,
$a_7 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $a_8 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
Tentukan semua subgrup yang dimiliki $G$ dan masing-masing tentukan pula pembangunnya!
Step 1
Perhatikan definisi pembangun grup berikut!
Pembangun Grup (Group Generator)
Jika $(G, \star)$ adalah suatu grup, maka $K = \{k_1, k_2, ..., k_n\}$ adalah pembangun grup $(G, \star)$ jika dan hanya jika untuk sebarang elemen $g \in G$ akan berlaku persamaan $g = {k_1}^{m_1} \;\star\; {k_2}^{m_2} \;\star\; ... \;\star\; {k_n}^{m_n}$ untuk suatu $m_1, m_2, ... m_n \in \{0,1,2,3...,\}$.
Oke! Kita akan mencari pembangun grup $G$!
Salah satu cara untuk mencari pembangun grup $G$ adalah dengan menyelidiki invers setiap elemen grup $G$. Karena elemen-elemen grup $G$ berwujud matriks persegi berukuran 2 kali 2, maka kita bisa mencari invers dari setiap matriks tersebut menggunakan rumus berikut.
$\displaystyle a_i = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} \implies {a_i}^{-1} = \frac{1}{xw -yz} \cdot \begin{bmatrix} w & -y \\ -z & x \end{bmatrix}$
Sebagai contoh, invers elemen $a_2$ adalah sebagai berikut.
$\displaystyle a_2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \implies {a_2}^{-1} = \frac{1}{(0 \cdot 0) - (-1 \cdot 1)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = a_4$
Nah, singkat prosesnya, hasil penyelidikan invers-invers ini adalah sebagai berikut.
Berdasarkan hasil penyelidikan di atas, terlihat bahwa grup $G$ bukan grup siklik karena invers untuk elemen $a_3$, $a_5$, $a_6$, $a_7$, dan $a_8$ adalah dirinya sendiri. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa pembangun grup $G$ adalah himpunan $K$ yang beranggotakan lebih dari satu elemen.
Step 2
Kemudian, berdasarkan hasil penyelidikan elemen invers di atas, terlihat bahwa invers elemen ${a_2}$ itu bukan dirinya sendiri. Nah, ayo kita coba menyelidiki hasil dari ${a_2}^2$, ${a_2}^3$, ${a_2}^4$, dan seterusnya. Hasilnya adalah sebagai berikut.
Berdasarkan tiga hasil di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa ${a_2}^5 = a_2$, ${a_2}^6 = a_3$, ${a_2}^7 = a_4$, ${a_2}^8 = e$, ${a_2}^9 = a_2$, ${a_2}^{10} = a_3$, ${a_2}^{11} = a_4$, dst. Dengan kata lain, kita bisa menyatakan bahwa elemen $a_2$ "membentuk" (generate) elemen $a_3$, $a_4$, dan $e$.
Oke! Berdasarkan hasil ini, kita bisa membentuk himpunan $K$ sebagai pembangun grup $G$ sebagai berikut.
$K = \{ a_2,\; a_5,\; a_6,\; a_7,\; a_8 \}$.
Akan tetapi! Himpunan $K$ bukan pembangun grup $G$ yang minimal! Karena, sepertinya, anggota himpunan $K$ itu "terlalu banyak".
Step 3
Oke! Kita akan mencari pembangun grup $G$ yang minimal, yaitu himpunan $K_{min}$, dengan cara mengeliminasi beberapa elemen himpunan $K$.
Kita perhatikan elemen $a_5$. Perhatikan bahwa elemen $a_5$ ini tidak dibangun oleh elemen $a_2$ karena $a_5 \neq {a_2}^n$ untuk setiap $n \in \mathbb{Z}^{+}$. Dengan demikian, elemen $a_5$ adalah salah satu kandidat elemen dari pembangun grup $G$ yang minimal.
Selanjutnya, kita akan menyelidiki hasil dari $a_2 \cdot a_5$, ${a_2}^2 \cdot a_5$, dan ${a_2}^3 \cdot a_5$ sebagai berikut.
Berdasarkan hasil di atas, terlihat bahwa elemen $a_6$, $a_7$, dan $a_8$ dapat dibentuk dari kombinasi linear $a_2$ dan $a_5$. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa pembangun grup $G$ yang minimal adalah himpunan $K_{min}$ sebagai berikut.
$K_{min} = \{ a_2,\; a_5 \}$.
Step 4
Selanjutnya, kita akan menentukan semua subgrup yang dimiliki $G$ dan juga menentukan pembangun subgrup tersebut.
Perhatikan! Karena $G$ adalah subgrup berhingga (finite), maka jelas bahwa setiap subgrup dari $G$ juga merupakan grup yang berhingga.
Selanjutnya, kita akan memanfaatkan Teorema Lagrange berikut.
Teorema Lagrange
Jika $G$ adalah sebarang grup berhingga dan $H$ adalah subgrup dari $G$, maka order dari subgrup $H$ akan membagi habis order dari grup $G$.
Dengan demikian, karena order dari grup $G$ adalah $8$, maka order dari subgrup $H$ yang proper ($H \neq G$) haruslah $1$, $2$, atau $4$.
Step 5
Nah, dengan memanfaatkan himpunan $K_{min}=\{a_2,\; a_5\}$ sebagai pembangun grup $G$ yang minimal, kita akan menentukan subgrup-subgrup dari grup $G$.
Pertama, kita pilih elemen $a_2 \in K_{min}$. Pada Step 3, kita sudah mendapatkan fakta bahwa elemen $a_2$ "membentuk" (generate) elemen $a_3$, $a_4$, dan $e$. Nah, jika dibentuk himpunan $H_1 = \{ e,\; a_2,\; a_3,\; a_4 \}$, maka $H_1$ ini (dengan operasi perkalian matriks tentunya) akan menjadi subgrup dari $G$, tepatnya subgrup minimal dari $G$ yang dibangun oleh elemen $a_2$. Perhatikan bahwa order subgrup $H_1$ ini adalah $4$.
Selanjutnya, kita pilih elemen $a_5 \in K_{min}$. Sama seperti di atas, kita bentuk himpunan $H_2$ sebagai subgrup minimal dari $G$ yang dibangun oleh elemen $a_5$. Kita akan memperoleh $H_2 = \{ e, \; a_5 \}$. Perhatikan bahwa order subgrup $H_2$ ini adalah $2$.
Perhatikan bahwa subgrup dari $G$ bukan hanya $H_1$ dan $H_2$ saja. Ayo kita selidiki subgrup minimal dari $G$ yang dibangun oleh elemen $a_3$, $a_4$, $a_6$, $a_7$, dan $a_8$!
Step 6
Selanjutnya, kita akan menyelidiki apakah ada subgrup proper dari $G$ yang memuat elemen $a_2$ dan $a_6$? Perhatikan bahwa $a_2 \cdot a_6 = a_7$ dan $a_6 \cdot a_2 = a_3$. Dengan demikian, jika ada subgrup proper dari $G$ yang memuat elemen $a_2$ dan $a_6$, maka subgrup tersebut juga harus memuat elemen $a_3$ dan $a_7$. Dengan demikian, order subgrup tersebut akan lebih dari $4$ dan menurut Teorema Lagrange hal tersebut tidak mungkin terjadi.
Berdasarkan alasan di atas, kita juga dapat menyimpulkan bahwa tidak ada subgrup proper dari $G$ yang memuat elemen $a_2$ dan $a_7$ atau $a_2$ dan $a_8$.
Perhatikan ya! Apabila $H$ adalah suatu subgrup dan elemen $h$ termuat di $H$, pasti subgrup $H$ juga akan memuat elemen $h^2$, $h^3$, $h^4$, dst selain tentu saja elemen $e$, dan elemen-elemen $h^{-1}$, $h^{-2}$, $h^{-3}$, dst. Penalaran serupa juga berlaku apabila subgrup $H$ memuat elemen $h_1$, $h_2$, $h_3$, dst.
Final Step
Jadi, subgrup-subgrup proper dari $G$ adalah $\{e\}$, $H_1$, $H_2$, $H_3$, $H_5$, $H_6$, dan $H_7$.
$\blacksquare$