Pengantar Grup Aksi, Orbit, dan Stabilizer

1. Grup Aksi Kiri

Diketahui $X$ adalah himpunan yang tidak kosong.

Diketahui himpunan tidak kosong $G$ adalah grup terhadap operasi biner $\star$.

Grup $(G, \star)$ disebut sebagai grup aksi kiri terhadap himpunan $X$ jika dan hanya jika terdapat pemetaan $\phi$ dari himpunan $G \times X$ ke himpunan $X$ yang memenuhi 2 aksioma berikut.

  1. Jika $e$ adalah elemen identitas di grup $(G, \star)$, maka akan berlaku $\phi(e, x) = x$ untuk setiap $x \in X$.
  2. Untuk setiap $g_1, g_2 \in G$ dan untuk setiap $x \in X$ akan berlaku persamaan $\phi(g_1 \star g_2, x) = \phi(g_1,~ \phi(g_2, x))$.

Untuk selanjutnya, himpunan $X$ disebut sebagai himpunan objek. Elemen-elemen yang termuat di dalam himpunan $X$ disebut sebagai objek. Sedangkan himpunan $G$ disebut sebagai himpunan aksi (action). Elemen-elemen yang termuat di dalam himpunan $X$ disebut sebagai aksi.

Contoh 1

Diketahui $X = \{ x_1,~ x_2,~ x_3,~ x_4\}$ adalah himpunan yang memuat 4 objek, yaitu $x_1$, $x_2$, $x_3$, dan $x_4$ dengan:.

$x_1$ = , $x_2$ = , $x_3$ = , dan $x_4$ = .

Berdasarkan visualisasi objek di atas, kita bisa memvisualkan objek $x$ sebagai gelang dengan satu manik-manik hitam dan tiga manik-manik putih.

Selanjutnya, diketahui himpunan $G = \{ \rho_1,~ \rho_2,~ \rho_3,~ \rho_4\}$ adalah grup terhadap operasi biner komposisi fungsi $\star$ dengan:

  • $\rho_1$ = rotasi objek dengan value 90° searah jarum jam.
  • $\rho_2$ = rotasi objek dengan value 180° searah jarum jam.
  • $\rho_3$ = rotasi objek dengan value 270° searah jarum jam.
  • $\rho_4$ = rotasi objek dengan value 360° searah jarum jam.

Berdasarkan contoh grup $(G, \star)$ di atas, kita bisa mengambil contoh bahwa:

  • $\rho_1 \star \rho_1 = \rho_2$,
  • $\rho_1 \star \rho_4 = \rho_4 \star \rho_1 = \rho_1$,
  • $\rho_1 \star \rho_3 = \rho_3 \star \rho_1 = \rho_4$, dan lain sebagainya.

$\star$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_3$$\rho_4$
$\rho_1$$\rho_2$$\rho_3$$\rho_4$$\rho_1$
$\rho_2$$\rho_3$$\rho_4$$\rho_1$$\rho_2$
$\rho_3$$\rho_4$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_3$
$\rho_4$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_3$$\rho_4$

Perhatikan! Berdasarkan Tabel Cayley di atas, terlihat bahwa $\rho_4$ adalah elemen identitas untuk grup $(G, \star)$.

Lebih lanjut, kita bisa memandang grup $(G, \star)$ sebagai grup permutasi. Permutasi-permutasi $\rho_i$ yang merupakan anggota himpunan $G$ dapat kita gunakan untuk merotasi objek-objek yang termuat di dalam himpunan objek $X$.

Selanjutnya! Perhatikan! Pemetaan $\phi: G \times X \to X$ dengan $\phi(\rho_i,~ x_j)$ untuk suatu $\rho_i \in G$ dan $x_j \in X$ dapat kita bahasakan menjadi melakukan rotasi terhadap objek $x_j$ dengan value ...° (sesuai nilai $\rho_i$) searah jarum jam. Sebagai contoh, $\phi(\rho_4, x_2)$ dapat dibahasakan menjadi melakukan rotasi terhadap objek $x_2$ dengan value 360° searah jarum jam.

Perhatikan! Jika dipilih $\rho_1 \in G$ dan $x_1 \in X$, kemudian dibentuk $\phi(\rho_1, x_1)$, maka kita bisa membahasakan $\phi(\rho_1, x_1)$ menjadi melakukan rotasi terhadap objek $x_1$ dengan value 90° searah jarum jam. Sebagaimana yang bisa kita perhatikan, jika objek $x_1$ dirotasikan 90° searah jarum jam, maka hasilnya akan berupa objek $x_2$. Dengan kata lain, kita bisa menyatakan bahwa $\phi(\rho_1, x_1) = x_2$.

Ingat bahwa $\rho_4$ adalah elemen identitas untuk grup $(G, \star)$. Perhatikan bahwa hasil rotasi sebarang objek $x_i$ dengan value 360° searah jarum jam adalah objek $x_i$ itu sendiri. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa $\phi(\rho_4, x) = x$ untuk setiap objek $x \in X$.

Selanjutnya, perhatikan baik-baik bahwasanya himpunan $X$ itu sebetulnya dibangun oleh satu objek saja. Kita sebut objek ini sebagai objek pembangun. Objek-objek yang termuat di dalam himpunan $X$ selain objek pembangun sebetulnya adalah "varian" dari objek pembangun, yang tidak lain adalah hasil rotasi objek pembangun dengan value 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam.

Tanpa mengurangi keumuman, katakanlah $x_1$ sebagai objek pembangun himpunan $X$. Oleh sebab itu, perhatikan bahwa untuk sebarang $\rho \in G$ akan berlaku $\phi(\rho, x) \in X$. Ambil sebarang $\rho' \in G$ dan $\rho'' \in G$. Selanjutnya, perhatikan bahwa $\phi(\rho', x) \in X$, yaitu $\phi(\rho', x) = x'$ untuk suatu $x' \in X$.

Selanjutnya, jika dibentuk $\phi(\rho'', x')$, maka akan berlaku $\phi(\rho'', x') \in X$, yaitu $\phi(\rho'', x') = x''$ untuk suatu $x'' \in X$.

Berdasarkan penjabaran di atas akan berlaku persamaan $x'' = \phi(\rho'', x') = \phi(\rho'', \phi(\rho', x))$. Ingat bahwa $\rho$ adalah permutasi, yaitu rotasi searah jarum jam. Ingat bahwa permutasi bisa dikomposisikan. Dengan demikian akan berlaku persamaan $x'' = \phi(\rho'', x') = \phi(\rho'', \phi(\rho', x)) = \phi((\rho'' \star \rho'),~ x)$.

Berdasarkan penjabaran di atas, kita bisa menyatakan bahwa grup $(G, \star)$ adalah grup aksi kiri terhadap himpunan objek $X$.

2. Orbit pada Objek pada Grup Aksi Kiri

Diketahui $(G, \star)$ adalah grup aksi kiri terhadap himpunan objek $X$.

Untuk suatu objek $x \in X$, himpunan $O(x)$ yang didefinisikan sebagai:

$O(x) = \{ \phi(\rho, x) ~|~ \rho \in G\} ~=~ \{ \phi(\rho_1, x),~ \phi(\rho_2, x),~ \phi(\rho_3, x),~ ... \}$

disebut sebagai orbit objek $x$ terhadap grup aksi kiri $(G, \star)$.

Karena aksioma nomor 1 menyatakan bahwa:

Jika $e$ adalah elemen identitas di grup $(G, \star)$, maka akan berlaku $\phi(e, x) = x$ untuk setiap objek $x \in X$,

maka untuk setiap orbit $O(x)$ akan memuat objek $x$. Dengan kata lain, untuk setiap objek $x$ akan berlaku $x \in O(x)$. Berdasarkan definisi ini pula kita dapat menyimpulkan bahwasanya orbit merupakan himpunan bagian dari himpunan $X$. Dengan kata lain, untuk setiap objek $x \in X$ akan berlaku $O(x) \subseteq X$.

Selanjutnya, misalkan himpunan objek $X$ dapat dinyatakan sebagai $X = \{ x_1,~ x_2,~ x_3,~ ...,~ x_n \}$. Berdasarkan definisi orbit, akan bisa dibentuk himpunan $X/G$ dengan definisi sebagai berikut.

$X/G = \{ O(x_1),~ O(x_2),~ O(x_3),~ ...,~ O(x_n)\} = \{ O(x) ~|~ x \in X \}$

Jika diperhatikan, mungkin saja akan ada hubungan antara suatu orbit $O(x_i)$ dengan suatu orbit $O(x_j)$. Sifat berikut menegaskan akan hubungan tersebut.

Relasi Ekuivalensi

Relasi $\sim$ yang didefinisikan untuk objek-objek $x, y \in X$ sebagai:

$x \sim y \iff \phi(\rho,x) = y$ untuk suatu $\rho \in G$

adalah relasi ekuivalensi.

Bukti

Sesuai definisi relasi ekuivalensi, kita akan menunjukkan bahwa $\sim$ adalah relasi yang bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Berdasarkan aksioma nomor 1, diketahui bahwa jika $e$ adalah elemen identitas di grup $(G, \star)$, maka akan berlaku $\phi(e, x) = x$ untuk setiap objek $x \in X$. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa $\sim$ adalah relasi yang bersifat refleksif dikarenakan berlaku $x \sim x \iff \phi(e, x) = x$ untuk setiap objek $x \in X$.

Selanjutnya, misalkan untuk suatu objek-objek $x,y \in X$ berlaku $x \sim y$. Dengan demikian, akan berlaku persamaan $\phi(\rho,x) = y$ untuk suatu $\rho \in G$. Karena $(G, \star)$ adalah grup, maka $\rho$ memiliki elemen invers terhadap operasi biner $\star$. Sebut elemen invers ini sebagai $\rho^{-1}$, sedemikian sehingga akan berlaku persamaan $\rho \star \rho^{-1} = \rho^{-1} \star \rho = e$. Perhatikan bahwa:

$\phi(\rho^{-1}, y) = \phi(\rho^{-1}, \phi(\rho, x)) = \phi(\rho^{-1} \star \rho, x) = \phi(e, x) = x$

Berdasarkan penjabaran di atas, berlaku persamaan $\phi(\rho^{-1}, y) = x$. Berdasarkan definisi relasi ekuivalensi, kita bisa menyatakan bahwa $y \sim x$. Dengan demikian, karena untuk sebarang objek $x,y \in X$ yang memenuhi $x \sim y$ juga akan berlaku $y \sim x$, maka kita bisa menyatakan bahwa $\sim$ adalah relasi yang bersifat simetris.

Selanjutnya, misalkan terdapat objek-objek $x,y,z \in X$ yang memenuhi $x \sim y$ dan $y \sim z$. Berdasarkan definisi relasi $\sim$ akan berlaku persamaan $\phi(\rho_1, x) = y$ dan $\phi(\rho_2, y) = z$ untuk suatu $\rho_1, \rho_2 \in G$. Dengan demikian, kita akan memperoleh persamaan berikut.

$\phi(\rho_2, y) = \phi(\rho_2, y\phi(\rho_1, x))= \phi(\rho_2 \star \rho_1, x) = z \iff x \sim z$

Berdasarkan penjabaran di atas, karena jika terdapat objek-objek $x,y,z \in X$ yang memenuhi $x \sim y$ dan $y \sim z$ maka juga akan berlaku $x \sim z$, maka kita bisa menyatakan bahwa $\sim$ adalah relasi yang bersifat transitif. $\blacksquare$

Berdasarkan Sifat Relasi Ekuivalensi di atas, orbit-orbit $O(x_i)$ tidak lain adalah kelas-kelas ekuivalensi. Dengan demikian, akan berlaku persamaan berikut.

$O(x_1) ~\cup~ O(x_2) ~\cup~ O(x_3) ~\cup~ ... ~\cup~ O(x_n) = X$

Jika diperhatikan lebih saksama, dengan mengacu pada himpunan objek $X$ yang sama, bentuk dan ukuran orbit akan berbeda-beda tergantung dari grup aksi kiri $(G, \star)$ yang berlaku terhadap himpunan objek $X$.

Contoh 2

Diketahui $X = \{ x_1,~ x_2,~ x_3,~ x_4,~ x_5,~ x_6\}$ adalah himpunan yang memuat 6 objek, dengan:.

$x_1$ = , $x_2$ = , $x_3$ = , $x_4$ = , $x_5$ = , dan $x_6$ = .

Selanjutnya, diketahui himpunan $G = \{ \rho_1,~ \rho_2,~ \rho_3,~ \rho_4\}$ adalah grup terhadap operasi biner komposisi fungsi $\star$ dengan:

  • $\rho_1$ = rotasi objek dengan value 90° searah jarum jam.
  • $\rho_2$ = rotasi objek dengan value 180° searah jarum jam.
  • $\rho_3$ = rotasi objek dengan value 270° searah jarum jam.
  • $\rho_4$ = rotasi objek dengan value 360° searah jarum jam.

Diketahui juga himpunan $G' = \{ \tau_1,~ \tau_2\}$ adalah grup terhadap operasi biner komposisi fungsi $\odot$ dengan:

  • $\tau_1$ = refleksikan objek terhadap sumbu vertikal sebanyak 1 kali.
  • $\tau_2$ = tidak merefleksikan objek terhadap sumbu vertikal.

Berdasarkan definisi himpunan objek $X$ serta grup $(G, \star)$ dan grup $(G', \odot)$, kita bisa membuat himpunan $X/G$ dan $X/G'$ sebagai berikut.

$X/G = \{O(x_1),~ O(x_5) \}$, dengan:

  • $O(x_1) = \{ x_1,~x_2,~x_3,~x_4\}$
  • $O(x_5) = \{ x_5,~x_6\}$

$X/G' = \{O'(x_1),~ O'(x_2),~ O'(x_3),~O'(x_5),~O'(x_6) \}$, dengan:

  • $O'(x_1) = \{ x_1 \}$
  • $O'(x_2) = \{ x_2,~x_4 \}$
  • $O'(x_3) = \{ x_3 \}$
  • $O'(x_5) = \{ x_5 \}$
  • $O'(x_6) = \{ x_6 \}$

3. Stabilizer pada Grup Aksi Kiri

Diketahui $(G, \star)$ adalah grup aksi kiri terhadap himpunan objek $X$.

Untuk suatu objek $x \in X$, himpunan $S(x)$ yang didefinisikan sebagai:

$S(x) = \{ \rho \in G ~|~ \phi(\rho, x) = x \}$

disebut sebagai stabilizer objek $x$ terhadap grup aksi kiri $(G, \star)$.

Berdasarkan definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwasanya stabilizer merupakan himpunan bagian dari himpunan $G$. Dengan kata lain, untuk setiap objek $x \in X$ akan berlaku $S(x) \subseteq G$.

Contoh 3

Diketahui $X = \{ x_1,~ x_2,~ x_3,~ x_4,~ x_5,~ x_6\}$ adalah himpunan yang memuat 6 objek, dengan:.

$x_1$ = , $x_2$ = , $x_3$ = , $x_4$ = , $x_5$ = , dan $x_6$ = .

Selanjutnya, diketahui himpunan $G = \{ \rho_1,~ \rho_2,~ \rho_3,~ \rho_4\}$ adalah grup terhadap operasi biner komposisi fungsi $\star$ dengan:

  • $\rho_1$ = rotasi objek dengan value 90° searah jarum jam.
  • $\rho_2$ = rotasi objek dengan value 180° searah jarum jam.
  • $\rho_3$ = rotasi objek dengan value 270° searah jarum jam.
  • $\rho_4$ = rotasi objek dengan value 360° searah jarum jam.

Berdasarkan definisi himpunan objek $X$ serta grup $(G, \star)$, kita bisa menyelidiki stabilizer-nya sebagai berikut.

  • $S(x_1) = S(x_2) = S(x_3) = S(x_4) = \{ \rho_4 \}$
  • $S(x_5) = S(x_6) = \{ \rho_2,~ \rho_4 \}$