Grup $(G, \circ)$.
Subgrup $H$ dari grup $(G, \circ)$.
Tunjukkan bahwa jika grup $(G, \circ)$ berorder $2n$ dan subgrup $(H, \circ)$ berorder $n$ untuk suatu bilangan asli $n$, maka $H$ merupakan subgrup normal di $(G, \circ)$.
Subgrup $H$ dari grup $(G, \circ)$ disebut sebagai subgrup normal di $(G, \circ)$ jika dan hanya jika untuk setiap $x \in G$ akan berlaku $xH = Hx$.
Himpunan $xH$ didefinisikan sebagai $xH = \{x \circ h ~|~ h \in H \}$.
Himpunan $Hx$ didefinisikan sebagai $Hx = \{h \circ x ~|~ h \in H \}$.
Karena grup $(G, \circ)$ berorder $2n$, maka himpunan $G$ memiliki $2n$ elemen.
Sementara itu, karena subgrup $(H, \circ)$ berorder $n$, maka himpunan $H$ memiliki $n$ elemen.
Berdasarkan dua paragraf di atas, kita dapat menyatakan bahwa terdapat elemen $x' \in G$ sedemikian sehingga $x' \notin H$. Jelas ya bahwa elemen $x'$ ini bukan elemen identitas (yang notasinya adalah $e$).
Selanjutnya, kita bentuk himpunan $x'H = \{x' \circ h ~|~ h \in H \}$.
Karena $x' \notin H$, maka jelas bahwa $x' \circ h \notin H$ untuk setiap $h \in H$. Karena jika berlaku $x' \circ h \in H$, maka akan berlaku $x' \in H$ dikarenakan $H$ adalah subgrup dari grup $(G, \circ)$.
Perlu diketahui juga bahwa $x' \in x'H$ karena elemen identitas termuat di $H$.
Dengan demikian, kita memiliki 2 himpunan yang saling asing, $H$ dan $x'H$.
Perhatikan bahwa himpunan $x'H$ memuat $n$ elemen, sama seperti himpunan $H$. Kenapa bisa begitu?
Jelas bahwa himpunan $x'H$ tidak mungkin memuat lebih dari $n$ elemen, karena himpunan $H$ sebagai dasar konstruksi himpunan $x'H$ hanya memuat $n$ elemen. Kalaupun himpunan $x'H$ memuat kurang dari $n$ elemen juga tidak mungkin karena hal tersebut akan mengakibatkan adanya 2 elemen yang sama di dalam himpunan $H$ (tidak mungkin terjadi).
Nah, karena himpunan $H$ dan $x'H$ saling asing dan masing-masing memuat sejumlah $n$ elemen, maka jelas akan berlaku $H \cup x'H = G$. Dengan kata lain, sebarang elemen $x \in G$ akan termuat di salah satu himpunan $H$ atau $x'H$. Karena himpunan $H$ dan $x'H$ saling asing dan berlaku $H \cup x'H = G$, maka himpunan $H$ dan $x'H$ adalah partisi dari himpunan $G$.
Dengan penalaran yang serupa, kita juga dapat menyatakan bahwa himpunan $H$ dan $Hx'$ saling asing dan masing-masing memuat sejumlah $n$ elemen. Dengan kata lain, sebarang elemen $x \in G$ akan termuat di salah satu himpunan $H$ atau $Hx'$. Serupa dengan paragraf di atas, himpunan $H$ dan $Hx'$ adalah partisi dari himpunan $G$.
Berdasarkan penjabaran di atas, kita punya partisi $H$, $x'H$, dan $Hx'$ pada himpunan $G$. Karena $H \neq x'H$ dan $H \neq Hx'$, maka pastilah berlaku $x'H = Hx'$. Karena, jika $x'H \neq Hx'$, maka akan menyalahi ketentuan bahwa himpunan $x'H$ dan $Hx'$ sama-sama harus memuat sejumlah $n$ elemen yang tidak termuat dalam himpunan $H$.
Berdasarkan penjabaran di atas, untuk setiap $x' \in G$ dengan $x' \notin H$ akan memenuhi persamaan $x'H = Hx'$. Untuk setiap $x'' \in G$ dengan $x'' \in H$ akan memenuhi persamaan $h''H = H = Hh''$ dikarenakan $(H, \circ)$ adalah grup yang tentu saja tertutup terhadap operasi biner $\circ$.