Grup $(G, \circ).$
Subgrup $H$ dari grup $(G, \circ)$.
Tunjukkan bahwa untuk sebarang $x \in G$ berlaku $xH = H$ jika dan hanya jika $x \in H$.
Himpunan $xH$ didefinisikan sebagai $xH = \{x \circ h ~|~ h \in H \}$.
Kita akan menunjukkan ini.
Untuk sebarang $x \in G$, jika berlaku $xH = H$, maka $x \in H$.
Ambil sebarang $x \in G$ dan bentuk himpunan $xH$. Karena berlaku $xH = H$, artinya untuk setiap elemen $y \in xH$ akan berlaku $y \in H$. Dengan kata lain, untuk sebarang elemen $h \in H$ akan terdapat elemen $h' \in H$ sedemikian sehingga berlaku $x \circ h = h'$.
Karena $H$ adalah subgrup dari $(G, \circ)$, maka invers elemen $h$ (yaitu $h^{-1}$) akan termuat di dalam himpunan $H$. Oleh sebab itu, akan berlaku persamaan berikut.
$x \circ h = h' ~\iff~ x = h' \circ h^{-1}$
Karena $h'$ dan $h^{-1}$ adalah elemen-elemen di subgrup $(H, \circ)$, maka akan berlaku $h' \circ h^{-1} \in H$. Dengan kata lain, $h' \circ h^{-1} = h''$ untuk suatu elemen $h'' \in H$.
Dengan demikian, kita akan memperoleh persamaan $x = h''$, yang berakibat $x \in H$.
Kita akan menunjukkan ini.
Untuk sebarang $x \in G$, jika berlaku $x \in H$, maka akan berlaku $xH = H$.
Pernyataan di atas ekuivalen dengan ini.
Untuk sebarang $x \in G$, jika berlaku $x \in H$, maka akan berlaku $xH \subseteq H$ dan $H \subseteq xH$.
Ambil sebarang $x \in G$ dengan $x \in H$. Sebetulnya, ini sama saja dengan mengambil sebarang $x \in H$, karena $H$ adalah himpunan bagian dari himpunan $G$.
Selanjutnya, kita bentuk himpunan $xH = \{x \circ h ~|~ h \in H \}$. Kita andaikan ada elemen $y \in xH$ sedemikian sehingga berlaku $y \notin H$.
Karena elemen $y \in xH$, maka kita bisa menyatakan elemen $y$ sebagai: $y = x \circ h'$ untuk suatu $h' \in H$. Akan tetapi, karena $x$ adalah elemen di himpunan $H$ dan $(H, \circ)$ adalah subgrup dari $(G, \circ)$, maka jelas akan berlaku $x \circ h' \in H$. Oleh sebab itu, kita bisa menyatakan bahwa $x \circ h' = h''$ untuk suatu elemen $h'' \in H$. Dengan demikian, akan diperoleh persamaan $y = x \circ h' = h'' \in H$.
Nah, pernyataan $y \in H$ ini kontradiktif dengan pengandaian di awal bahwasanya $y \notin H$. Dengan demikian pengandaian bahwa ada elemen $y \in xH$ sedemikian sehingga berlaku $y \notin H$ adalah salah!.
Karena pengandaian ini salah, berarti yang benar adalah untuk setiap elemen $y \in xH$ akan berlaku $y \in H$. Dengan kata lain, akan berlaku $xH \subseteq H$.
Selanjutnya, kita andaikan bahwa ada elemen $y \in H$ sedemikian sehingga berlaku $y \notin xH$. Ini berarti untuk setiap $h \in H$ akan berlaku pertidaksamaan $y \neq x \circ h$.
Perhatikan! Karena $x \in H$ dan $(H, \circ)$ adalah subgrup dari $(G, \circ)$, maka himpunan $H$ memuat elemen invers dari $x$ terhadap operasi biner $\circ$. Kita notasikan elemen invers ini sebagai $x^{-1}$, sedemikian sehingga akan berlaku $x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = e$.
Karena elemen $y \in H$, $x^{-1} \in H$, dan $(H, \circ)$ adalah grup, maka akan berlaku $x^{-1} \circ y \in H$. Sebut saja, $x^{-1} \circ y = h''$ untuk suatu $h'' \in H$.
Nah! Karena $h'' \in H$, maka jelas bahwa $x \circ h'' \in xH$. Akan tetapi, perhatikan bahwa akan berlaku persamaan berikut.
$x \circ h'' = x \circ \left( x^{-1} \circ y \right) = \left(x \circ x^{-1}\right) \circ y = e \circ y = y$
Berdasarkan persamaan di atas, kita memperoleh hasil berupa persamaan $x \circ h'' = y$. Ini berarti, akan berlaku $y \in xH$.
Nah, pernyataan $y \in xH$ ini kontradiktif dengan pengandaian di awal bahwasanya $y \notin xH$. Dengan demikian pengandaian bahwa ada elemen $y \in H$ sedemikian sehingga berlaku $y \notin xH$ adalah salah!.
Karena pengandaian ini salah, berarti yang benar adalah untuk setiap elemen $y \in H$ akan berlaku $y \in xH$. Dengan kata lain, akan berlaku $H \subseteq xH$.