Grup berhingga $(G, \circ).$
Himpunan tidak kosong $H$ termuat di dalam grup $(G, \circ)$.
Untuk setiap $x, y \in H$ akan berlaku $x \circ y \in H$.
Tunjukkan bahwa $(H, \circ)$ adalah subgrup dari $(G, \circ)$!
Karena Karena $(G, \circ)$ adalah grup berhingga, maka $G$ adalah himpunan berhingga. Dengan demikian, karena himpunan $H$ termuat di dalam grup $(G, \circ)$, maka $H$ adalah himpunan berhingga.
Karena $H$ bukan himpunan kosong, maka himpunan $H$ sekurang-kurangnya memiliki satu elemen. Kita sebut elemen ini sebagai $h$. Dengan demikian, akan berlaku $h \in G$ dan $h \in H$.
***
Karena $h \in H$ dan berlaku sifat bahwa untuk setiap $x, y \in H$ akan berlaku $x \circ y \in H$, maka kita bisa menyatakan bahwa: $h \circ h \in H$.
Dengan penalaran yang serupa, kita bisa menyatakan bahwa $h \circ h \circ h \in H$, $h \circ h \circ h \circ h \in H$, $h \circ h \circ h \circ h \circ h \in H$, dan seterusnya.
Supaya penulisannya lebih ringkas, kita akan menotasikan $(h)^i = \underbrace{h \circ h \circ ... \circ h }_{\text{sebanyak} ~i~ \text{kali}}$
***
Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan $H$ memuat elemen identitas terhadap operasi biner $\circ$. Kita notasikan elemen identitas ini sebagai $e$.
Selanjutnya, kita asumsikan bahwa $h \in H$ bukan elemen identitas. Sebab, jika $h$ adalah elemen identitas, maka masalah ini akan selesai.
Selanjutnya, kita bentuk elemen-elemen: $(h)^2$, $(h)^3$, $(h)^4$, $(h)^5$, ..., $(h)^n$, $(h)^{n+1}$, $(h)^{n+2}$, dan seterusnya hingga tak berhingga. Perhatikan bahwa $(h)^2$, $(h)^3$, $(h)^4$, $(h)^5$, ..., $(h)^n$, $(h)^{n+1}$, $(h)^{n+2}$ dan seterusnya ini merupakan elemen-elemen di himpunan $H$. Dengan kata lain, akan berlaku sifat berikut.
Sifat 1
Untuk sebarang bilangan asli $n$ akan berlaku $(h)^n \in H$.
Nah, perhatikan!
Karena $H$ adalah himpunan berhingga, maka tidak mungkin bahwa $(h)^2$, $(h)^3$, $(h)^4$, $(h)^5$, ..., $(h)^n$, $(h)^{n+1}$, $(h)^{n+2}$, dan seterusnya hingga tak berhingga ini adalah elemen-elemen yang berbeda-beda!
Dengan kata lain, pertidaksamaan: $(h)^2 ~\neq~ (h)^3 ~\neq~ (h)^4 ~\neq~ ... ~\neq~ (h)^n ~\neq~ (h)^{n+1} ~\neq~ (h)^{n+2} ~\neq~ ...$ tidak mungkin bisa terjadi!
Sekali lagi, hal ini disebabkan karena $H$ adalah himpunan berhingga dan Sifat 1 berlaku pada $H$.
Oleh sebab itu, pasti akan terdapat suatu bilangan asli $m_1$ dan $m_2$ yang berbeda sedemikian sehingga berlaku persamaan $(h)^{m_1} = (h)^{m_2}$.
Oke! Kita asumsikan bahwa $m_1 < m_2$. Dengan demikian, akan berlaku persamaan $m_1 + s = m_2$ untuk suatu bilangan asli $s$.
Akibatnya, persamaan $(h)^{m_1} = (h)^{m_2}$ akan ekuivalen dengan $(h)^{m_1} = (h)^{(m_1 + s)} = (h)^{m_1} \circ (h)^{s}$.
Karena elemen $(h)^{m_1} \in H$ dan himpunan $H$ termuat di dalam grup $(G, \circ)$, maka elemen $(h)^{m_1}$ memiliki invers, yaitu $((h)^{m_1})^{-1}$.
Dengan demikian, kita akan memperoleh persamaan berikut.
$(h)^{m_1} = (h)^{m_1} \circ (h)^{s} ~\iff~ ((h)^{m_1})^{-1} \circ (h)^{m_1} = ((h)^{m_1})^{-1} \circ (h)^{m_1} \circ (h)^{s} ~\iff~ e = (h)^{s}$.
Dengan demikian, kita bisa menyimpulkan bahwa himpunan $H$ memuat elemen identitas.
***
Selanjutnya, dengan tetap mengasumsikan bahwa $h \neq e$, kita akan mengamati lagi elemen $(h)^{s}$. Ingat bahwa $s \neq 1$ karena kita mengasumsikan bahwa $h \neq e$. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa $s = 1 + p = p + 1$ untuk suatu bilangan asli $p$.
Karena berlaku $(h)^{s} = e$, maka akan berlaku pula:
$(h)^{s} = e \iff (h)^{1 + p} = e \iff (h) \circ (h)^p = e$.
Karena berlaku $(h) \circ (h)^p = e$, maka $(h)^p$ adalah elemen invers kanan untuk elemen $h$.
Selain itu, tetap karena berlaku $(h)^{s} = e$, maka akan berlaku pula:
$(h)^{s} = e \iff (h)^{p + 1} = e \iff (h)^p \circ (h) = e$.
Karena berlaku $ (h)^p \circ h = e$, maka $(h)^p$ adalah elemen invers kiri untuk elemen $h$.
Berdasarkan persamaan di atas, karena berlaku $e = (h)^s = (h)^p \circ h = h \circ (h)^p$, maka $(h)^p$ adalah elemen invers untuk elemen $h$. Berdasarkan sifat himpunan $H$, akan berlaku $(h)^p \in H$. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa $H$ memuat elemen invers untuk elemen $h$.
***
Jadi, berdasarkan penjabaran di atas, telah ditunjukkan bahwa himpunan $H$ memuat elemen identitas terhadap operasi biner $\circ$ dan juga himpunan $H$ memuat invers untuk semua elemennya (invers terhadap operasi biner $\circ$ tentunya). Ah, tentu saja, karena operasi biner $\circ$ bersifat asosiatif untuk semua elemen himpunan $G$, maka sifat yang sama juga berlaku untuk semua elemen himpunan $H$. Oleh sebab itu, kita dapat menyatakan bahwa bahwa $(H, \circ)$ adalah subgrup dari $(G, \circ)$.
Jika himpunan $H$ bukan himpunan berhingga, maka tidak ada jaminan bahwa $(H, \circ)$ akan merupakan subgrup dari $(G, \circ)$. Sebagai contoh, kita tetapkan grup $(G, \circ)$ sebagai $(\mathbb{Z}, +)$ dan $H = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, ... \}$. Perhatikan bahwa untuk sebarang $x,y \in H$ akan berlaku $x+y \in H$. Akan tetapi, $H$ bukan subgrup dari $(\mathbb{Z}, +)$.