Diketahui

• $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} - \{ 0 \}$ adalah grup terhadap operasi perkalian bilangan real pada umumnya (operasi perkalian notasinya adalah $\cdot$).
• $T = \{ -1, 1\}$
• $\mathbb{R}^{+} = \{ x \in \mathbb{R} ~:~ x > 0\}$

Masalah

Tunjukkan bahwa $\mathbb{R}^{*} /T$ isomorfis dengan $\mathbb{R}^{+}~$!

Penyelesaian

Step 1

Pertama-tama, kita akan menyelidiki apakah himpunan $T$ adalah subgrup dari $\mathbb{R}^{*}$ atau bukan. Karena himpunan $T$ hanya memiliki $2$ elemen, yaitu $-1$ dan $1$, maka penyelidikan ini bisa kita lakukan dengan cara manual, sebagai berikut.

• Karena $1 \cdot 1 = 1$, $-1 \cdot -1 = 1$, dan $-1 \cdot 1 =1 \cdot -1 = -1$, maka kita bisa menyatakan bahwa himpunan $T$ tertutup terhadap operasi perkalian bilangan real.
• Operasi perkalian bilangan real $\cdot$ bersifat asosiatif.
• Elemen $1$ adalah elemen identitas di $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$ sekaligus juga di $(T, \cdot)$.
• Elemen invers untuk $-1$ adalah $-1$ itu sendiri.

Jadi, tanpa keraguan, kita bisa menyatakan bahwa $T$ adalah subgrup dari $\mathbb{R}^{*}$.

Step 2

Selanjutnya, kita cermati Teorema Utama Homomorfisma berikut ini.

Nah, berdasarkan Teorema Utama Homomorfisma, kita tahu bahwa $\text{Kernel}(\phi)$ adalah subgrup normal dari $G$. Ketika $N = \text{Kernel}(\phi)$, maka kita akan mendapatkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-1) berikut.

Eits! Modifikasi Teorema Utama Homomorfisma tidak berhenti sampai di sini! Perhatikan! Jika $\phi$ adalah pemetaan surjektif, maka akan berlaku $\phi(G) = K$. Dengan demikian, kita akan mendapatkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-2) berikut.

Nah! Kita bisa menunjukkan bahwa $\mathbb{R}^{*} /T$ isomorfis dengan $\mathbb{R}^{+}~$ dengan memanfaatkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-2), yaitu sebagai berikut.

Step 3

Oke! Dengan proses yang mirip-mirip seperti di atas, kita bisa menunjukkan bahwa $\mathbb{R}^{+}$ adalah grup terhadap operasi perkalian bilangan real $\cdot$. Perhatikan bahwa $(\mathbb{R}^{+}, \cdot)$ adalah subgrup dari $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$. Oleh sebab itu, $(\mathbb{R}^{+}, \cdot)$ dan $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$ memiliki elemen identitas yang sama, yaitu $1$.

Nah, sebetulnya, dengan mengamati elemen-elemen himpunan $T$, kita bisa membentuk homomorfisma surjektif $\phi$ yang menjadi tugas kita di atas itu. Ya! Homomorfisma surjektif $\phi$ yang dimaksud tidak lain adalah sebagai berikut.

$\phi(x) = |x|$, untuk setiap $x \in \mathbb{R}^{*}$.

Jelas sekali ya bahwa $\phi$ adalah pemetaan surjektif, karena jika kita mengambil sebarang $y \in \mathbb{R}^{+}$, maka $y$ akan berupa bilangan real positif. Dengan begitu, $-y$ akan berupa bilangan real negatif. Perhatikan bahwa $y$ dan $-y$ senantiasa termuat di $\mathbb{R}^{*}$. Berdasarkan definisi $\phi$ di atas, akan berlaku $\phi(y) = |y| = y$ dan $\phi(-y) = |-y| = y$.

Jelas sekali juga bahwa $\phi$ adalah homomorfisma. Karena, untuk sebarang $x \in \mathbb{R}^{*}$ yang kita ambil, hasil dari $\phi(x)$ akan selalu berupa bilangan real positif. Dengan demikian, berdasarkan sifat harga mutlak, jelas sekali bahwa akan berlaku:

$\phi(x \cdot y) = |x \cdot y| = |x| \cdot |y| = \phi(x) \cdot \phi(y)$.

Step 4

Terakhir, jelas sekali bahwa $\text{Kernel}(\phi) = \{ -1, 1 \} = T$, karena kan $\phi(1) = |1| = 1$ dan $\phi(-1) = |-1| = 1$.

Jadi, kesimpulannya, $\mathbb{R}^{*} /T$ isomorfis dengan $\mathbb{R}^{+}~$ karena bisa dibentuk homomorfisma surjektif $\phi$ dari $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$ ke $(\mathbb{R}^{+}, \cdot)$ dengan definisi:

$\phi(x) = |x|$, untuk setiap $x \in \mathbb{R}^{*}$,

sedemikian sehingga $\text{Kernel}(\phi) = \{ -1, 1 \} = T$.

Final Step

Berdasarkan Step 1 hingga Step 2 kita telah menunjukkan bahwa terdapat suatu homomorfisma surjektif $\phi$ dari $\mathbb{R}^{*}$ ke $\mathbb{R}^{+}~$ dengan definisi $\phi(x) = |x|$, untuk setiap $x \in \mathbb{R}^{*}$ sedemikian sehingga $\text{Kernel}(\phi) = T$. Jadi, berdasarkan Teorema Utama Homomorfisma (Versi Modif-2), kita bisa menyatakan bahwa $\mathbb{R}^{*} /T$ isomorfis dengan $\mathbb{R}^{+}~$.

$\blacksquare$