Sebelum membaca tulisan ini, ada baiknya untuk membaca tulisan terkait grup aksi berikut.
Pengantar Grup Aksi, Orbit, dan Stabilizer
$X$ adalah himpunan objek yang berhingga.
$G$ adalah himpunan aksi yang berhingga.
$(G, \star)$ adalah grup aksi kiri terhadap himpunan objek $X$.
Untuk setiap objek $x \in X$ akan berlaku persamaan:
$\displaystyle |S(x)| = \frac{|G|}{|O(x)|}.$
Catatan:
$|Y|$ menyatakan kardinalitas himpunan $Y$.
$S(x)$ menyatakan stabilizer objek $x$ terhadap grup aksi kiri $(G, \star)$.
$O(x)$ menyatakan orbit objek $x$ terhadap grup aksi kiri $(G, \star)$.
Step 1
Diketahui $G$ adalah himpunan aksi yang berhingga. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa jumlah aksi yang termuat di dalam himpunan $G$ adalah sebanyak $n$, untuk suatu $n \in \mathbb{N}$. Dengan kata lain, kita bisa menyatakan himpunan $G$ sebagai:
$G = \{ \rho_1,~\rho_2,~\rho_3,...,\rho_{n-1},~\rho_{n}\}$
dengan elemen $\rho$ disebut sebagai aksi.
Diketahui $(G, \star)$ adalah grup aksi kiri terhadap himpunan objek $X$. Oleh sebab itu, himpunan $G$ memuat elemen identitas terhadap operasi biner $\star$. Tanpa mengurangi keumuman, kita tetapkan elemen identitas ini sebagai aksi $\rho_1$. Dengan demikian akan berlaku $\rho_1 \star \rho_i = \rho_i \star \rho_1 = \rho_i$ untuk sebarang $\rho_i \in G$.
Step 2
Selanjutnya, kita pilih sebarang objek $x' \in X$. Kita akan menggunakan objek $x'$ ini sebagai acuan.
Dengan menggunakan objek $x'$ kita akan mengamati orbit $O(x')$. Berdasarkan definisi orbit, akan diperoleh:
$O(x') = \{ \phi(\rho_1, x'),~ \phi(\rho_2, x'),~ \phi(\rho_3, x'),~ ...,~ \phi(\rho_{n}, x')\}$.
Ingat! Orbit $O(x')$ merupakan himpunan bagian dari himpunan objek $X$ yang biasa dinotasikan sebagai: $O(x') \subseteq X$.
Nah! Perhatikan baik-baik! Salah satu dari 2 kemungkinan ini bisa terjadi, yaitu $O(x') \neq X$ atau $O(x') = X$. Kemungkinan "tidak ideal" yang terjadi adalah $O(x') \neq X$. Jika kemungkinan ini yang terjadi, maka akan ada aksi $\rho'$ dan $\rho''$ yang berbeda ($\rho' \neq \rho''$) sedemikian sehingga berlaku persamaan: $\phi(\rho',x') = \phi(\rho'',x')$.
Berdasarkan akan adanya kemungkinan di atas, kita bentuk himpunan $A_1$,$A_2$,$A_3$, hingga $A_{n}$ dengan definisi:
$A_i = \{ \rho \in G ~|~ \phi(\rho, x') = \phi(\rho_i, x') \}$.
Perhatikan bahwa himpunan $A_i$ ini sesungguhnya adalah kelas-kelas ekuivalensi pada himpunan $G$ silakan dibuktikan sendiri. Relasi $\sim$ yang menciptakan kelas-kelas ekuivalensi tersebut didefinisikan sebagai:
$\rho_1 \sim \rho_2 \iff \phi(\rho_1,x') = \phi(\rho_2,x')$ untuk $\rho_1,\rho_2 \in G$.
Step 3
Perhatikan! Berdasarkan kemungkinan yang sudah disinggung pada paragraf di atas, ada kemungkinan terdapat himpunan $A_i$ yang sama. Dengan kata lain, akan ada kemungkinan terdapat indeks $i_1$ dan $i_2$, sedemikian sehingga berlaku persamaan $A_{i_1} = A_{i_2}$. Dengan demikian, bisa jadi, apabila kita bentuk himpunan $\bar{A}$ dengan definisi:
$\bar{A} = \{ A_1, A_2, A_3, ..., A_n \}$
maka banyaknya elemen himpunan $\bar{A}$ adalah kurang dari $n$. Katakanlah $\bar{A}$ memuat sejumlah $m$ himpunan $A_i$, dengan $m \leq n$. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa:
$\bar{A} = \{ A_1, A_2, A_3, ..., A_m \}$
Selanjutnya, karena $A_i \in \bar{A}$ adalah kelas-kelas ekuivalensi pada $G$, maka akan berlaku:
Step 4
Sejauh ini, menggunakan objek acuan $x'$, kita mendapatkan himpunan $O(x')$ dan $\bar{A}$. Selanjutnya, kita akan bentuk suatu pemetaan $\alpha$ dari himpunan $O(x')$ ke himpunan $\bar{A}$ dengan definisi:
$\alpha(\phi(\rho', x')) = \{ \rho \in G ~|~ \phi(\rho', x') = \phi(\rho, x') \}$
Nah! Berdasarkan definisi pemetaan $\alpha$ di atas, kita bisa menyatakan bahwa $\alpha$ adalah pemetaan bijektif. silakan dibuktikan sendiri
Karena $\alpha$ adalah pemetaan bijektif, maka kita bisa menyatakan bahwa kardinalitas $O(x')$ dan $\bar{A}$ adalah sama. Karena himpunan $\bar{A}$ memuat sejumlah $m$ himpunan $A_i$, maka kita bisa menyatakan bahwa banyaknya elemen pada himpunan $O(x')$ adalah $m$. Dengan kata lain, kita akan memperoleh persamaan:
$|O(x')| = m$
Step 5
Selanjutnya, kita pilih sebarang indeks $i$ dari rentang 1 hingga $m$. Dengan demikian, berdasarkan indeks $i$ yang dipilih tersebut, kita akan mendapatkan himpunan $A_i$ yang bersesuaian dengannya.
Kemudian, kita ambil suatu aksi $\tau \in A_i$ sebagai acuan. Karena aksi $\tau$ adalah elemen dari grup $(G, \star)$, maka tentu saja $\tau$ memilki elemen invers terhadap operasi $\star$. Sebut elemen invers ini sebagi $\tau^{-1}$.
Nah! sekarang kita ambil sebarang $\rho' \in A_i$. Perhatikan penjabaran berikut.
$\begin{split} \rho' \in A_i &\iff \phi(\tau, x') = \phi(\rho', x') ~\textcolor{magenta}{\#1} \\ &\iff \phi(\tau^{-1},\phi(\tau, x')) = \phi(\tau^{-1},\phi(\rho', x')) \\ &\iff \phi(\tau^{-1} \star \tau, x') = \phi(\tau^{-1} \star \rho', x') ~\textcolor{magenta}{\#2} \\ &\iff \phi(e, x') = \phi(\tau^{-1} \star \rho', x') \\ &\iff x' = \phi(\tau^{-1} \star \rho', x') ~\textcolor{magenta}{\#3}\end{split}$
Catatan:#1 = berdasarkan syarat keanggotaan himpunan $A_i$.
#2 = berdasarkan aksioma 2 pada definisi grup aksi kiri.
#3 = berdasarkan aksioma 1 pada definisi grup aksi kiri.
Perhatikan! Berdasarkan penjabaran di atas, kita akan mendapatkan pernyataan berikut.
$\rho' \in A_i \iff x' = \phi(\tau^{-1} \star \rho', x')$
Berdasarkan definisi stabilizer, kita akan mendapatkan pernyataan berikut.
$\rho' \in A_i \iff x' = \phi(\tau^{-1} \star \rho', x') \iff \tau^{-1} \star \rho' \in S(x')$
Nah, berlakunya $\tau^{-1} \star \rho' \in S(x')$ itu ekuivalen dengan berlakunya $\rho' \in \tau \star S(x')$ dengan:
\begin{split} \tau \star S(x') &= \{ \tau \star \rho ~|~ \rho \in S(x') \} \\ &= \{ \tau \star \rho ~|~ \phi(\rho, x') = x' \}\end{split}
Dengan demikian, untuk sebarang $\rho' \in A_i$, akan diperoleh ekuivalensi berikut ini.
$\rho' \in A_i \iff x' = \phi(\tau^{-1} \star \rho', x') \iff \tau^{-1} \star \rho' \in S(x') \iff \rho' \in \tau \star S(x')$
Nah, jika ekuivalensi di atas dipersingkat, maka untuk sebarang $\rho' \in A_i$, akan diperoleh ekuivalensi berikut ini.
$\rho' \in A_i \iff \rho' \in \tau \star S(x')$
Dengan kata lain, akan berlaku:
$A_i = \tau \star S(x')$
akibatnya, akan berlaku:
$|A_i| = |\tau \star S(x')|$
Step 6
Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa berlaku persamaan: $|\tau \star S(x')| = |S(x')|$.
Perhatikan! Karena $S(x')$ adalah himpunan berhingga, maka kardinalitas himpunan $\tau \star S(x')$ tidak akan pernah melebihi kardinalitas himpunan $S(x')$. Kemungkinan yang bisa terjadi adalah kardinalitas himpunan $\tau \star S(x')$ kurang dari kardinalitas himpunan $S(x')$.
Oke! Kita andaikan bahwa kardinalitas himpunan $\tau \star S(x')$ kurang dari kardinalitas himpunan $S(x')$. Itu berarti, berdasarkan syarat keanggotaan himpunan $\tau \star S(x')$, akan terdapat aksi $\rho'$ dan $\rho''$ yang berbeda di dalam himpunan $S(x')$ sedemikian sehingga berlaku $\tau \star \rho' = \tau \star \rho''$. Akan tetapi, karena aksi $\tau$ adalah elemen dalam grup $(G, \star)$, maka aksi $\tau$ memiliki elemen invers, yaitu $\tau^{-1}$. Dengan demikian, akan terjadi ekuivalensi berikut.
$\tau \star \rho' = \tau \star \rho'' \iff \tau^{-1} \star \left(\tau \star \rho' \right) = \tau^{-1} \star \left(\tau \star \rho'' \right) \iff \rho' = \rho''$
Nah, berdasarkan penjabaran di atas, muncul kontradiksi, bahwasanya $\rho' = \rho''$, akan tetapi pada awal pengandaian $\rho'$ dan $\rho''$ adalah aksi-aksi yang berbeda.
Dengan demikian, pengandaian bahwa kardinalitas himpunan $\tau \star S(x')$ kurang dari kardinalitas himpunan $S(x')$ adalah salah!. Dengan demikian, satu-satunya hal betul adalah kardinalitas himpunan $\tau \star S(x')$ sama dengan kardinalitas himpunan $S(x')$. Dengan kata lain, akan berlaku:
$|\tau \star S(x')| = |S(x')|$
Dengan demikian, jika mengacu ke hasil Step 4, akan berlaku:
$|A_i| = |\tau \star S(x')| = |S(x')|$
Final Step
Oke! Kita akan rangkai semua yang sudah kita ketahui.
Ingat penjelasan di Step 3 bahwa himpunan-himpunan $A_i$ adalah kelas-kelas ekuivalensi (tentu saling asing) yang mempartisi himpunan $G$. Oleh sebab itu, akan berlaku:
$G = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_m$
yang berakibat:
$|G| = |A_1| + |A_2| + |A_3| + ... + |A_m|$
Berdasarkan hasil Step 6, karena berlaku $|A_i| = |S(x')|$, maka akan berlaku persamaan berikut.
$|G| = |A_1| + |A_2| + |A_3| + ... + |A_m| = \underbrace{|S(x')| + |S(x')| + |S(x')| + ... + |S(x')|}_{\text{sebanyak } m \text{ kali}} = m \cdot |S(x')|$
Terakhir, berdasarkan hasil Step 4, karena berlaku $|O(x')| = m$, maka akan berlaku persamaan berikut.
$|G| = m \cdot |S(x')| = |O(x')| \cdot |S(x')| \iff \displaystyle |S(x')| = \frac{|G|}{|O(x')|}$.
$\blacksquare$